Décomposer pour mieux résoudre : L'approche étape par étape appliquée à un problème de maths concret

Raisonner étape par étape 

Boujour/Bonsoir et bonne lecture!

Dans notre précédent article, nous avons exploré l'idée que la résolution de problèmes, en informatique comme dans d'autres domaines, peut être grandement facilitée par une approche méthodique, étape par étape. Nous avions fait une analogie avec la cuisine, où suivre une recette, c'est en fait décomposer un problème complexe (préparer un plat) en une série de petites tâches simples. Dans cet article, nous allons appliquer ce même principe à un problème de mathématiques concret, de niveau 3ème, afin d'illustrer la puissance de cette approche.

Présentation du problème

Considérons le problème suivant :

Amadou est un agriculteur possédant un terrain de forme triangulaire rectangle. Les deux côtés de l’angle droit mesurent respectivement 20 m et 30 m. Son grenier a la forme d'un cône de hauteur 2 m et de rayon 3 m. Il cultive des pommes de terre. Lors de la récolte, il place les pommes de terre dans des caisses cylindriques de dimensions 1/10e de celles du grenier. Avant la livraison, il stocke les caisses dans le grenier. On suppose que les caisses remplissent approximativement tout le volume du grenier.

Consignes:

Tâche 1 : Calculer la superficie du terrain cultivable, la surface au sol occupée par le grenier et la surface restante non occupée.

Tâche 2 : Calculer la longueur totale des deux clôtures (une autour du terrain et une autour du grenier, cette dernière étant construite de manière circulaire à 3 mètres de la base du grenier).

Tâche 3 : En considérant que le grenier est rempli de caisses, calculer le chiffre d'affaires approximatif en un mois, en tenant compte d'une perte de 5% due à une mauvaise conservation. Proposer au moins deux solutions concrètes pour minimiser ces pertes.

Ce problème, à première vue, peut paraître complexe. Il fait appel à plusieurs notions mathématiques (aires, volumes, périmètres, pourcentages) et demande une bonne organisation pour parvenir à la solution. C'est là que l'approche étape par étape prend tout son sens.

Phase 1 : Analyse et identification des données et contraintes

Avant de commencer à résoudre un problème, il est essentiel de bien le comprendre. Cela passe par une analyse des données fournies et des contraintes à respecter.

Dans notre exemple, les données sont :

• Les dimensions du terrain triangulaire rectangle (20 m et 30 m).
• Les dimensions du grenier conique (hauteur 2 m et rayon 3 m).
• Les dimensions des caisses cylindriques (1/10e de celles du grenier).
• Le prix de vente d'une caisse de pommes de terre (10 000 F CFA).
• Le pourcentage de perte durant le stockage (5%).
• La cloture autour du grenier est construite à 3 m de la base du grenier.

Les contraintes sont :

• Les formules mathématiques à appliquer (aire d'un triangle, d'un disque, volume d'un cône, volume d'un cylindre, périmètre d'un cercle et d'un triangle).
• Le volume des caisses cylindriques qui remplissent tout le volume du grenier.
• La perte de 5% sur les pommes de terre.

Enfin, les objectifs sont :

• Calculer les aires du terrain et du grenier.
• Calculer les longueurs des clôtures.
• Calculer le volume du grenier et des caisses.
• Calculer le chiffre d'affaires en tenant compte des pertes.
• Proposer des solutions pour limiter les pertes.

Phase 2 : Élaboration de la solution étape par étape

Maintenant que nous avons bien analysé le problème, nous pouvons le décomposer en sous-problèmes plus simples et les résoudre un par un.

Tâche 1 (Calculs de surfaces) :

• Sous-problème 1.1 : Calculer la superficie du terrain (triangle rectangle).
• Formule : (base * hauteur) / 2
• Application : (20 m * 30 m) / 2 = 300 m²
• Sous-problème 1.2 : Calculer la surface au sol occupée par le grenier (disque).
• Formule : π * rayon²
• Application : 3.14 * (3 m)² = 28.26 m² (environ)
• Sous-problème 1.3 : En déduire la surface restante du terrain.
• Calcul : 300 m² - 28.26 m² = 271.74 m² (environ)

Tâche 2 (Calculs de longueurs) :

• Sous-problème 2.1 : Calculer la longueur de la clôture autour du terrain (périmètre du triangle).
• Calcul de l'hypoténuse du triangle rectangle: √(20² + 30²) = √(400 + 900) = √1300 ≈ 36.06 m
• Addition des longueurs des trois côtés du triangle : 20 + 30 + 36.06 = 86.06 m (environ).
• Sous-problème 2.2 : Calculer la longueur de la clôture autour du grenier (périmètre du cercle agrandi).
• Calcul du rayon du cercle agrandi: 3 + 3 = 6m
• Formule : 2 * π * rayon
• Application : 2 * 3.14 * 6 m = 37.68 m (environ)

• Sous-problèmes 2.3 : Additionner les deux longueurs 86.06 + 37.68 = 123.74 m (environ).

Tâche 3 (Calculs de volumes et de chiffre d'affaires) :

• Sous-problème 3.1 : Calculer le volume du grenier (cône).
• Formule : (1/3) * π * rayon² * hauteur
• Application : (1/3) * 3.14 * (3 m)² * 2 m = 18.84 m³ (environ)
• Sous-problème 3.2 : Calculer le volume d'une caisse cylindrique.
• Calcul du rayon de la caisse: 3/10 = 0.3m
• Calcul de la hauteur de la caisse: 2/10 = 0.2 m
• Formule : π * rayon² * hauteur
• Application : 3.14 * (0.3 m)² * 0.2 m = 0.05652 m³ (environ)
• Sous-problème 3.3 : Calculer le nombre de caisses dans le grenier.
• Calcul: 18.84 / 0.05652 =  333.33. On peut estimer à 333 caisses environ
• Sous-problème 3.4 : Calculer le chiffre d'affaires sans perte.
• Calcul: 333 * 10 000 = 3 330 000 F CFA
• Sous-problème 3.5 : Calculer la perte due à une mauvaise conservation.
• Calcul: 3 330 000 * 0.05 = 166 500 F CFA
• Sous-problème 3.6 : Calculer le chiffre d'affaires approximatif en un mois en tenant compte des pertes.
• Calcul: 3 330 000 - 166 500 = 3 163 500 F CFA
• Sous-problème 3.7 : Proposer au moins deux solutions concrètes pour minimiser les pertes de pommes de terre.
• Solutions : 1) Stocker les pommes de terre dans un endroit frais et sec. 2) Utiliser des caisses perforées pour permettre une bonne circulation de l'air.

Conclusion

En décomposant le problème complexe de l'agriculteur en une série de sous-problèmes simples, nous avons pu le résoudre étape par étape, en utilisant les outils mathématiques appropriés. Cette approche méthodique, que nous avons empruntée à la résolution de problèmes en informatique, s'avère très efficace pour aborder des situations complexes, qu'elles soient mathématiques ou autres. Nous espérons que cet exemple vous incitera à adopter cette démarche pour tous vos défis.

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